El Fin Del Conocimiento - Bóveda 6/80 - CVPR - 2022 - Aprendiendo Mezclas de Sistemas Dinámicos Lineales

graph LR classDef linear fill:#f9d4d4, font-weight:bold, font-size:14px classDef estimation fill:#d4f9d4, font-weight:bold, font-size:14px classDef methods fill:#d4d4f9, font-weight:bold, font-size:14px classDef analysis fill:#f9f9d4, font-weight:bold, font-size:14px A["Aprendiendo Mezclas de
Sistemas Dinámicos Lineales"] --> B["Sistemas
Lineales"] A --> C["Estimación de
Modelos"] A --> D["Métodos"] A --> E["Análisis"] B --> B1["Modelos lineales
evolucionando
con el tiempo. 1"] B --> B2["Múltiples modelos
generando datos
sin etiquetar. 2"] B --> B3["Agrupando datos
similares en
trayectorias. 3"] B --> B4["Asignando nuevos
datos a
clusters. 4"] B --> B5["Ruido aleatorio
siguiendo una
distribución normal. 14"] B --> B6["Estados futuros
independientes de
condiciones iniciales. 9"] C --> C1["Inferencia de
parámetros del modelo
a partir de datos. 5"] C --> C2["Identificación de subespacios
relevantes de baja
dimensión. 6"] C --> C3["Estimación gruesa
seguida de pasos de
refinamiento. 7"] C --> C4["Muestras necesarias para
una estimación
precisa. 10"] C --> C5["Restricciones asegurando
la estabilidad del
modelo. 15"] C --> C6["Diferencias mínimas
para la distinción
de modelos. 16"] D --> D1["Métodos de valores propios
para reducción de
dimensionalidad. 11"] D --> D2["Minimización de errores
cuadrados de
predicción. 12"] D --> D3["Maximización de la
probabilidad de los
datos observados. 13"] D --> D4["Proyección de datos
a dimensiones
inferiores. 18"] D --> D5["Límites en diferencias
de subespacios. 21"] D --> D6["Operación para cálculos de
covarianza. 26"] E --> E1["Técnica robusta
para manejar
valores atípicos. 19"] E --> E2["Estimadores con límites
de error más
ajustados. 20"] E --> E3["Combinación de múltiples
eventos de alta
probabilidad. 23"] E --> E4["Extensión de resultados
de finito a
continuo. 24"] E --> E5["Límites en diferencias de
valores propios. 25"] E --> E6["El orden del modelo no
afecta la
mezcla. 27"] class A,B,B1,B2,B3,B4,B5,B6 linear class C,C1,C2,C3,C4,C5,C6 estimation class D,D1,D2,D3,D4,D5,D6 methods class E,E1,E2,E3,E4,E5,E6 analysis

Resumen:

1.- Sistemas Dinámicos Lineales (SDL): Modelos matemáticos que describen sistemas que evolucionan con el tiempo según ecuaciones lineales, con transiciones de estado y ruido.

2.- SDL Mixtos: Múltiples modelos SDL generando trayectorias sin etiquetar, con etiquetas desconocidas para cada trayectoria.

3.- Agrupamiento: Agrupación de trayectorias similares, asumiendo que fueron generadas por el mismo modelo SDL.

4.- Clasificación: Asignación de nuevas trayectorias a clusters existentes basándose en su probabilidad de ser generadas por cada modelo.

5.- Estimación del modelo: Inferencia de parámetros de los modelos SDL (matrices de transición de estado, matrices de covarianza de ruido) a partir de trayectorias agrupadas.

6.- Estimación de subespacios: Identificación de subespacios de baja dimensión que contienen información relevante sobre los modelos SDL para reducir la dimensionalidad.

7.- Algoritmo de dos etapas: Estimación gruesa seguida de refinamiento, involucrando pasos de agrupamiento, clasificación y estimación del modelo.

8.- Matrices de autocovarianza: Descriptores estadísticos de los modelos SDL, utilizados para comparar y distinguir entre diferentes modelos.

9.- Propiedad de mezcla: Característica de los SDL donde los estados futuros se vuelven cada vez más independientes de las condiciones iniciales con el tiempo.

10.- Complejidad de muestra: Número de muestras requeridas para lograr una estimación precisa del modelo con alta probabilidad.

11.- Métodos espectrales: Técnicas que utilizan descomposición de valores propios para la estimación de subespacios y reducción de dimensionalidad.

12.- Estimación de mínimos cuadrados: Método para estimar parámetros de SDL minimizando las diferencias cuadradas entre estados predichos y observados.

13.- Estimación de máxima verosimilitud: Técnica para estimar parámetros del modelo maximizando la probabilidad de los datos observados.

14.- Ruido gaussiano: Perturbaciones aleatorias en modelos SDL que se asumen siguen una distribución normal.

15.- Condiciones de estabilidad: Restricciones en los parámetros de SDL que aseguran que el sistema no diverja con el tiempo.

16.- Condiciones de separación: Diferencias mínimas entre modelos SDL para asegurar que puedan distinguirse.

17.- Trayectorias cortas: Caminos de muestra de modelos SDL con longitudes mucho menores que la dimensión del estado.

18.- Reducción de dimensión: Técnicas para proyectar datos de alta dimensión en subespacios de menor dimensión mientras se preserva información importante.

19.- Estimador de mediana de medias: Técnica estadística robusta utilizada en el algoritmo de agrupamiento para manejar valores atípicos.

20.- Concentración auto-normalizada: Propiedad de ciertos estimadores estadísticos que permite límites de error más ajustados.

21.- Teorema de Davis-Kahan: Resultado que limita las diferencias entre subespacios de matrices perturbadas, utilizado en el análisis de estimación de subespacios.

22.- Desigualdad de Hanson-Wright: Resultado de concentración para formas cuadráticas de vectores aleatorios, utilizado en la estimación de covarianza.

23.- Límite de unión: Herramienta probabilística para combinar múltiples eventos de alta probabilidad, utilizada a lo largo del análisis teórico.

24.- Argumentos de cobertura: Técnica para extender resultados de conjuntos finitos a espacios continuos, utilizada en pruebas de concentración.

25.- Desigualdad de Weyl: Resultado que limita las diferencias en valores propios de matrices perturbadas, utilizado en análisis espectral.

26.- Producto de Kronecker: Operación en matrices utilizada en cálculos de covarianza para estados vectorizados de SDL.

27.- Invariancia de permutación: Propiedad donde el orden de los modelos SDL no afecta la mezcla general.

28.- Diseño modular de algoritmos: Estructuración de algoritmos como componentes separados que pueden ser modificados o reemplazados independientemente.

29.- Garantías de extremo a extremo: Resultados teóricos que aseguran que toda la tubería del algoritmo logra la precisión deseada con alta probabilidad.

30.- Complejidad de muestra polinómica: Límites en tamaños de muestra requeridos que crecen como polinomios en los parámetros del problema.

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