El Fin Del Conocimiento - Bóveda 6/14 - CVPR - 2016 - Matrices Laplacianas de Grafos: Algoritmos y Aplicaciones

graph LR classDef main fill:#f9d4d4, font-weight:bold, font-size:14px classDef intro fill:#d4f9d4, font-weight:bold, font-size:14px classDef laplacian fill:#d4d4f9, font-weight:bold, font-size:14px classDef solvers fill:#f9f9d4, font-weight:bold, font-size:14px classDef applications fill:#f9d4f9, font-weight:bold, font-size:14px classDef future fill:#d4f9f9, font-weight:bold, font-size:14px Main["Matrices Laplacianas de
Grafos: Algoritmos y
Aplicaciones"] Main --> A["Introducción a las Matrices Laplacianas"] A --> A1["Spielman: investigador de Yale, contribuciones
en algoritmos 1"] A --> A2["Matrices laplacianas: numerosas aplicaciones,
conexiones 2"] A --> A3["Problemas de interpolación resueltos usando
laplacianos 3"] A --> A4["La forma cuadrática laplaciana minimiza
la interpolación 4"] A --> A5["Laplacianos analizados en sistemas físicos
durante siglos 5"] A --> A6["Redes de resortes minimizan la energía
potencial 6"] Main --> B["Propiedades y Aplicaciones de Laplacianos"] B --> B1["Tutte: dibujo plano mediante
asentamiento de resortes 7"] B --> B2["Laplacianos miden los límites del conjunto
de nodos en grafos 8"] B --> B3["Agrupamiento espectral usa pequeños
autovectores laplacianos 9"] B --> B4["Estructura y representación de la matriz
laplaciana 10"] B --> B5["Esparsificación aproxima grafos, preserva
cuadráticas 16"] B --> B6["Existen ϵ-esparsificadores con n/ϵ^2 aristas 17"] Main --> C["Solucionadores Laplacianos"] C --> C1["Solucionadores laplacianos en tiempo casi
lineal 11"] C --> C2["Resolviendo Ax=b a precisión ϵ definida 12"] C --> C3["Solucionadores rápidos permiten varias
computaciones 13"] C --> C4["Algoritmo simple y rápido para resolver
laplacianos 20"] C --> C5["Eliminación gaussiana aproximada esparsifica
cliques 21"] C --> C6["El análisis usa teoría de matrices
aleatorias 22"] Main --> D["Aplicaciones y Extensiones"] D --> D1["Solucionadores laplacianos en problemas de
optimización 14"] D --> D2["Métodos de punto interior usan
laplacianos 15"] D --> D3["Esparsificadores calculados mediante muestreo
de aristas 18"] D --> D4["Mejores algoritmos de esparsificación
actuales descritos 19"] D --> D5["Solucionadores se extienden a laplacianos
generalizados 25"] D --> D6["Paquete de Julia integra métodos
laplacianos 26"] Main --> E["Direcciones Futuras y Desafíos"] E --> E1["Recursos disponibles en la página de
Spielman 27"] E --> E2["Desafíos: solucionadores rápidos para
sistemas 28"] E --> E3["Relación con inferencia de modelos
gráficos 29"] E --> E4["Extensión de métodos a matrices
asimétricas 30"] class Main main class A,A1,A2,A3,A4,A5,A6 intro class B,B1,B2,B3,B4,B5,B6 laplacian class C,C1,C2,C3,C4,C5,C6 solvers class D,D1,D2,D3,D4,D5,D6 applications class E,E1,E2,E3,E4 future

Resumen:

1.- Dan Spielman es un investigador destacado en la teoría de la computación de la Universidad de Yale que ha hecho contribuciones fundamentales en algoritmos.

2.- Las matrices laplacianas de grafos tienen numerosas aplicaciones y conexiones con campos como el aprendizaje automático.

3.- Garamani y Lafferty usaron matrices laplacianas para resolver problemas de interpolación en grafos, como estimar la probabilidad de que proteínas estén involucradas en enfermedades.

4.- Minimizar la forma cuadrática laplaciana permite interpolar valores en grafos resolviendo un sistema de ecuaciones lineales en la matriz laplaciana.

5.- Las matrices laplacianas han sido estudiadas durante más de 100 años para analizar sistemas físicos como redes de resortes.

6.- En una red de resortes, los vértices se asientan en posiciones que minimizan la energía potencial total, lo que se relaciona con la forma cuadrática laplaciana.

7.- Tutte demostró que fijar una cara externa de un grafo plano y dejar que los resortes se asienten produce un dibujo plano.

8.- Las matrices laplacianas proporcionan una forma de medir los límites de conjuntos de nodos en grafos usando la forma cuadrática de vectores característicos.

9.- Fiedler sugirió el agrupamiento espectral encontrando pequeños autovectores laplacianos. Umbralizar el vector de Fiedler divide los grafos en buenos grupos.

10.- La matriz laplaciana tiene -1 para aristas, grados en la diagonal. Es igual a B^T W B para la matriz de incidencia arista-vértice B, pesos W.

11.- Spielman y Teng desarrollaron algoritmos en tiempo casi lineal para resolver sistemas laplacianos. El mejor tiempo de ejecución actual es aproximadamente m log n log(1/ϵ).

12.- Resolver Ax=b a precisión ϵ significa encontrar x con ||x-x*||_A ≤ ϵ ||x*||_A, donde ||x||_A = sqrt(x^T A x), x* es óptimo.

13.- Los solucionadores laplacianos rápidos permiten calcular rápidamente valores y vectores propios y se usan como subrutinas en muchos problemas de optimización de grafos.

14.- King, Rao, Sachdeva usaron solucionadores laplacianos en métodos de punto interior para obtener algoritmos rápidos para regresión isótona y otros problemas de grafos.

15.- Los métodos de punto interior para problemas de grafos resuelven un sistema laplaciano en cada iteración; una precisión constante es suficiente para la convergencia.

16.- La esparsificación busca aproximar grafos mediante grafos más esparsos mientras se preservan las formas cuadráticas laplacianas. La resistencia efectiva gobierna la importancia de las aristas.

17.- Spielman y Srivastava demostraron que cada grafo tiene un ϵ-esparsificador con aproximadamente n/ϵ^2 aristas, computable en tiempo casi lineal.

18.- Los esparsificadores se pueden calcular muestreando aleatoriamente cada arista con una probabilidad proporcional a su resistencia efectiva y reescalando los pesos.

19.- Los mejores algoritmos de esparsificación actuales tardan aproximadamente m log^2 n o min(m log n, n^(1+α)) tiempo en producir esparsificadores con aproximadamente n log n/ϵ^2 aristas.

20.- Trabajos recientes proporcionan un algoritmo simple en tiempo casi lineal para resolver sistemas laplacianos mediante eliminación gaussiana aproximada.

21.- La eliminación gaussiana aproximada modifica la eliminación gaussiana estándar esparsificando aleatoriamente los cliques creados durante cada paso de eliminación.

22.- El análisis se basa en escribir la eliminación gaussiana como una suma de matrices aleatorias y aplicar herramientas de teoría de matrices aleatorias.

23.- Los aspectos clave son usar una permutación aleatoria de vértices, duplicar aristas, controlar varianzas y aplicar desigualdades de concentración de matrices.

24.- La implementación simple tarda aproximadamente m log^2 n tiempo; m log n parece posible. Una variante más compleja puede mejorar los factores logarítmicos.

25.- Los solucionadores laplacianos se extienden a algunos laplacianos generalizados como los laplacianos de conexión que surgen en aplicaciones como cryo-EM y visión por computadora.

26.- El grupo de Spielman está desarrollando un paquete de Julia en Laplacians.jl que integra solucionadores laplacianos con métodos de punto interior para facilitar su uso.

27.- Encuestas, artículos y materiales de cursos sobre métodos laplacianos están disponibles en la página de Spielman. El manuscrito de Vishnoi también cubre el material.

28.- Los desafíos en curso incluyen desarrollar solucionadores rápidos para otros sistemas lineales como los que surgen en mecánica estructural o flujos multicomodidad.

29.- La eliminación gaussiana aleatoria de Sachdev y King puede relacionarse con la inferencia aproximada en modelos gráficos, una dirección de investigación prometedora.

30.- Los métodos laplacianos pueden extenderse a matrices asimétricas, un área activa de investigación actual que busca resolver eficientemente matrices M generales.

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